Question

5．设F是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）的左焦点，直线l方程为x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$，直线l与x轴交于P点，M、N分别为椭圆的左右顶点，已知|MN|=2$\sqrt{2}$，且|PM|=$\sqrt{2}$|MF|．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P且斜率为$\frac{\sqrt{6}}{6}$的直线交椭圆于A、B两点，求三角形ABF面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求得a，再由|PM|=$\sqrt{2}$|MF|求得e，则c可求，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）写出直线方程，联立直线与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求出F到直线AB的距离，代入三角形的面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）∵|MN|=2$\sqrt{2}$，∴a=$\sqrt{2}$，
又∵|PM|=$\sqrt{2}$|MF|，
∴$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=1，则b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）由题知：F（-1，0），P（-2，0），${l}_{AB}：y=\frac{\sqrt{6}}{6}（x+2）$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=\frac{\sqrt{6}}{6}（x+2）}\end{array}\right.$，消y得：2x²+2x-1=0，
∴$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{6}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$．
点F到直线AB的距离：$d=\frac{1}{\sqrt{7}}$，
∴${S}_{△ABF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{14}}{2}×\frac{1}{\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，即三角形ABF面积为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了弦长公式的应用，是中档题．