题目内容

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]．
（1）若函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，求实数λ的取值范围；
（2）若函数f（x）的最大值为 $数学公式$ ，求实数λ的值．

解：（1）设2^x=t，
∵函数f（x）=λ•2^x-4^x=-（2^x）²+λ•2^x定义域为[0，1]，
∴2^x∈[1，2]，y=-t²+λt，t∈[1.2]，
∵函数f（x）在[0，1]上是单调递减函数，
∴y=-t²+λt在[1.2]是减函数，
∴t= $\text{[math]}$ ≤1，解得λ≤2，
∴实数λ的取值范围是（-∞，2]．
（2）∵函数f（x）=λ•2^x-4^x的定义域为[0，1]，最大值为 $\text{[math]}$ ，
由（1）知，y=-t²+λt=-（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，t∈[1.2]，
∴对称轴方程为t= $\text{[math]}$ ，
①当 $\text{[math]}$ 1时，y=-（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ 在[1.2]是减函数，
∴当t=1时，y取最大值 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
②当1 $\text{[math]}$ 2时，当t= $\text{[math]}$ 时，y取最大值y_max=-（ $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，（舍）
③当 $\text{[math]}$ 时，当t=2时，y取最大值y_max=-（2- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ．
综上所述，实数λ的值为 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）设2^x=t，原题转化为y=-t²+λt在[1.2]是减函数，由此能求出实数λ的取值范围．
（2）设2^x=t，原题转化为y=-t²+λt=-（t- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，t∈[1.2]最大值为 $\text{[math]}$ ，求实数λ的值．对λ分类讨论，求出在区间[1，2]上的最大值，使其等于 $\text{[math]}$ ，解出λ即可．
点评：本题考查二次函数的单调性及二次函数在给定区间上的最值问题，考查分类讨论思想，解题时要注意换元法的合理运用．