题目内容

已知函数 $数学公式$ ，其中0＜a＜b．
（1）当D=（0，+∞）时，设 $数学公式$ ，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k²，b=（k+1）²时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．

解：（1）∵t= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，0＜a＜b，x＞0，
∴t≥2 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又f（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ ，f（x）=g（t），
∴g（t）=（t-1）²+1- $\text{[math]}$ ，t∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）；
（2）∵x＞0，a=1，b=2，
∴f（x）= $\text{[math]}$ -3，又x+ $\text{[math]}$ -1≥2 $\text{[math]}$ -1（当且仅当x= $\text{[math]}$ 时取“=”）
∴f（x）≥ $\text{[math]}$ -3=6-4 $\text{[math]}$ ，
∴f（x）_min=6-4 $\text{[math]}$ ．
（3）由题意可得，x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]，1≤f（x）≤9恒成立，
∴只需求得x∈[k²，（k+1）²]时f（x）的最小值即可．
∵此时，f（x）= $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ ，
∵k＞0，x＞0，令g（x）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）≥ $\text{[math]}$ •k（k+1）=2 $\text{[math]}$ （当且仅当x=k（k+1）时取“=”）．
∴g（x）_min= $\text{[math]}$ ，由题意可知，当g（x）取到最小值时，f（x）取到最小值．
∴f（x）_min= $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴1≤ $\text{[math]}$ ≤9，而k＞0，
∴ $\text{[math]}$ ≤k≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由题意可得f（x）= $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ ，而t= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，于是可得y=g（t）的解析式及定义域；
（2）a=1，b=2时，f（x）= $\text{[math]}$ -3，利用x+ $\text{[math]}$ -1≥2 $\text{[math]}$ -1即可求得f（x）的最小值；
（3）由题意可求得x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]时，f（x）_min= $\text{[math]}$ ，由1≤ $\text{[math]}$ ≤9，k＞0，即可求得k的取值范围．
点评：本题考查基本不等式，考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查综合分析与运算能力，难度大，属于难题．