Question

已知函数，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k²，b=（k+c）²时，记f（x）=f₁（x）；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，记f（x）=f₂（x）．
求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）当a=1，b=2时，=（x²+）-2（）+2，利用换元法，转化为二次函数，利用单调性，可求f（x）的最小值；
（2）f（x）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）_min≥2^m-1，函数可化为=-2（）-+2，利用换元法，转化为二次函数，利用单调性，即可求实数m的取值范围；
（3）利用基本不等式可得（a²+b²）≥，从而可得＞＞2，利用条件再利用基本不等式，即可证得结论．
解答：解：（1）当a=1，b=2时，=（x²+）-2（）+2
令=t（t≥2），y=t²-2t-2=（t-1）²-3
∴函数在[2，+∞）上单调增，∴y≥6-4
∴f（x）的最小值为6-4；
（2）f（x）≥2^m-1对任意0＜a＜b恒成立，等价于f（x）_min≥2^m-1
=-2（）-+2
令=t（t≥），则y=t²-2t-+2
∴函数在[，+∞）上单调增，∴y≥＞0
∴0≥2^m-1
∴m≤0；
（3）因为（a²+b²）≥，所以＞＞2
当a=k²，b=（k+c）²时，=；当a=（k+c）²，b=（k+2c）²时，=
所以f₁（x）+f₂（x）＞2（）²+2（）²）＞（因为0＜a＜b，所以等号取不到）
点评：本题考查基本不等式的运用，考查函数的单调性，多次应用了基本不等式，注意等号成立的条件．