Question

以双曲线x²-y²=2的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为

 

．

Answer 1

分析：先把双曲线方程转化为标准形式，求出其焦点坐标及渐近线方程；再利用点到直线的距离公式求出圆的半径，即可得到所求圆的方程．

解答：解：因为双曲线x²-y²=2的方程可以转化为：

x2

2

-

y2

2

=1．
所以 a²=2，b²=2．
故c=

a2+b2

=2．
所以其右焦点为（2，0），其渐近线为：y=±

b

a

x．
又（2，0）到直线 y-x=0的距离 d=

|0-2|

(-1)2+12

=

2

．
既r=

2

．
所以所求圆的方程为：（x-2）²+y²=2．
故答案为：（x-2）²+y²=2．

点评：本题主要考查双曲线的基本性质．在求双曲线的渐近线方程时，一定要先判断出焦点所在位置，以免出错．因为焦点在x轴上的渐近线方程为y=±

b

a

x，而焦点在y轴上的渐近线方程为y=±

a

b

x．