Question

双曲线16x²-9y²=144的左、右两焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=64，求△PF₁F₂的面积．

Answer 1

分析：双曲线化成标准方程得

x2

9

-

y2

16

=1，从而算出F₁（-5，0），F₂（5，0）．再设|PF₁|=m，|PF₂|=n，由双曲线的定义和余弦定理，结合题意建立关于m、n的方程组，解出∠F1PF2=600，最后利用正弦定理的面积公式即可求出△PF₁F₂的面积．

解答：解：双曲线方程16x²-9y²=144化简为

x2

9

-

y2

16

=1
即a²=9，b²=16
∴c²=25，解得a=3，c=5，可得F₁（-5，0），F₂（5，0）…（3分）
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义知|m-n|=2a=6，又已知m•n=64，…（5分）
在△PF₁F₂中，由余弦定理知
cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|•|PF2|

=

m2+n2-(2c)2

2m•n

=

(m-n)2+2m•n-4c2

2m•n

=

36+2×64-4×25

2×64

=

1

2

∴∠F1PF2=600
因此，△PF₁F₂的面积为
S△F1PF2=

1

2

|PF1|•|PF2|•sin∠F1PF2=

1

2

m•n•sin600=16

3

…（12分）

点评：本题给出双曲线的焦点三角形中，在已知两条焦半径的积的情况下求三角形的面积．着重考查了双曲线的定义与简单几何性质、正余弦定理和三角形面积公式等知识，属于中档题．