Question

2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一大正方形．已知大正方形的面积是1，小正方形的面积是

1

25

．记直角三角形中的一个锐角为θ．
（1）请根据本题题意写出sinθ与cosθ之间的等量关系，并求tanθ的值；
（2）解关于x的不等式log_tanθ（x²-1）≥0．

Answer 1

分析：（1）根据大正方形的面积是1，小正方形的面积是

1

25

，可探求sinθ与cosθ之间的等量关系，从而求tanθ的值；
（2）根据tanθ的值，进行分类讨论，从而将不等式化为一元二次不等式，故可解．

解答：解：（1）如图，由已知设∠ABF=θ，易得：
AB=1，EF=

1

5

，且AF=sinθ，BF=cosθ⇒|sinθ-cosθ|=

1

5

--------------------（3分）⇒sin2θ=

24

25

=

2tanθ

1+tan2θ

⇒12tan2θ-25tanθ+12=0，⇒tanθ=

4

3

或tanθ=

3

4

，
所以较大锐角正切值为

4

3

，且较小锐角的正切值为

3

4

--------------------------（3分）
（2）①当tanθ=

4

3

时，logtanθ(x2-1)≥0⇒x2-1≥1  ⇒x≤-

2

或x≥

2

②当tanθ=

3

4

时，logtanθ(x2-1)≥0⇒

x2-1＞0 x2-1≤1

  ⇒-

2

≤x＜-1或1＜x≤

2

---（6分）

点评：本题以实际问题为载体，考查三角函数，考查解不等式，关键是将实际问题转化为数学问题．