Question

如图椭圆G：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1（-c，0）、F2（c，0）和顶点B1、B2构成面积为32的正方形．
（1）求此时椭圆G的方程；
（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B、Q为AB的中点，且P（0，-

3

3

）．问：A、B两点能否关于直线PQ对称．若能，求出kk的取值范围；
若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得b=c且a²=32，可求椭圆方程
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1．由直线l与椭圆相交于不同的两点可得△＞0即m²＜32k²+16，要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须KPQ=-

1

k

，利用方程的根与系数的关系代入得m=

1+2k2

3

，从而可求k得范围

解答：解（1）：由已知可得b=c且a²=32，
所以b2=

1

2

×32=16．∴所求椭圆方程为

x2

32

+

y2

16

=1．
（2）设直线L的方程为y=kx+m，代入

x2

32

+

y2

16

=1．

得（1+2k²）x²+4kmx+（2m²-32）=0．
由直线l与椭圆相交于不同的两点知△=（4km）²-4（1+2k²）（2m²-32）＞0，
m²＜32k²+16．②
要使A、B两点关于过点P、Q的直线对称，必须KPQ=-

1

k

设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），则xQ=

x1+x2

2

=-

2km

1+2k2

，yQ=kxQ+m=

m

1+2k2

∵KPQ=

m 1+2k2 + 3 3

- 2km 1+2k2

=-

1

k

解得m=

1+2k2

3

．③
由②、③得

(1+2k2)2

3

＜32k2+16
∴-

1

2

＜k2＜

47

2

，
∵k²＞0，∴0＜k2＜

47

2

∴-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

．．
故当-

94

2

＜k＜0或0＜k＜

94

2

时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称．

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，点关于直线的对称得性质的应用．