Question

已知m∈C，关于x的一元二次方程x²-mx+4+3i=0恒有非零实根，且当x=a（a∈R，a≠0）时，|m|取得最小值，记z=5-

5

|a|i，求复数

.

Z

•（1-bi）（b≥1）的辐角主值的取值范围．

Answer 1

分析：首先写出m的表示形式，表示出模长，根据均值不等式得到m的最小值，做出其对应的a的值，写出复数的表示式，对于b的取值进行讨论，根据实部和虚部的范围，写出幅角的范围，表示出幅角．

解答：解：设x₀为非零实数，由已知可得：
|m|=|x₀+

4

x0

+

3

x0

i|=

x 0 2 + 5 x 0 2 +8

≥

18

=3

2

．
当且仅当x₀=±

5

时，|m|取最小值，|a|=

5

．
∴z=5-5i，
∴

.

z

（1-bi）=（5+5b）+（5-5b）i
①当b=1时，

.

z

（1-bi）=10，辐角主值为0．
②当b＞1时，

.

z

（1-bi）的实部大于0，虚部小于0．其辐角主值在（

3π

2

，2π）内，
此时，arg〔

.

z

（1-bi）〕=2π+arctg（

2

1+b

-1）
∵b＞1，
∴-1＜

2

1+b

-1＜0，
∴-

π

4

＜arctg（

2

1+b

-1）＜0，
∴

7π

4

＜arg〔

.

z

（1-bi）〕＜2π．

点评：本题考查复数的模长，考查均值不等式，考查复数的三角形式，考查幅角的主值，是一个综合题，这种综合题并不多见，注意这种题目的解答过程．