Question

一弹性小球自h=5 m高处自由下落，当它与水平地面每碰撞一次后速度减少到碰前的，不计每次碰撞时间，计算小球从开始下落到停止运动所经过的路程和时间．

Answer 1

【答案】分析：设小球第一次落地时速度为v，进而可表示出v，v_1…v_n，进而前三次小球下落的路程，归纳出球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程，进而的出从第一次到第n+1次所经过的路程的极限；同理可归纳出小球从开始下落到第n次与地面相碰经过时间，求出前n项和的极限即可得到答案．
解答：解：设小球第一次落地时速度为v，则有v==10（m/s），
那么第二，第三，，第n+1次落地速度分别为v₁=v，v₂=（）²v，，v_n=（）ⁿv，
小球开始下落到第一次与地相碰经过的路程为h=5m，
小球第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的路程是L₁=2×=10×（．
小球第二次与地相碰到第三次与地相碰经过的路程为L₂，则L₂=2×=10×（）⁴．
由数学归纳法可知，小球第n次到第n+1次与地面碰撞经过路程为L_n=10×（）²ⁿ．
故从第一次到第n+1次所经过的路程为
S_n+1=h+L₁+L₂++L_n，则整个过程总路程为
S=S_n+1=5+10×=5+10=20.3（m），
小球从开始下落到第一次与地面相碰经过时间t==1（s）．
小球从第一次与地相碰到第二次与地相碰经过的时间t₁=2×=2×，
同理可得t_n=2×（）ⁿ，t_n+1=t+t₁+t₂++t_n，
则t=t_n+1=1+2×=8（s）．
点评：本题主要考查等比数列的求和公式．可以通过归纳法归纳出其中包含的等比数列．