Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数在区间（2，3）上总存在极值？
（3）当a=2时，设函数，若对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x）把a=1代入到f′（x），令f′（x）＞0时，得到函数的递增区间；令f′（x）＜0时，得到函数的递减区间；（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，得到f′（2）=1求出a的值代入到中化简，求出导函数，因为函数在（2，3）上总存在极值得到解出m的范围记即可；
（3）设F（x）=f（x）-g（x），求出导函数，讨论ρ的范围得到函数的增减性，因为对任意地x∈[1，2]，f（x）≥g（x）恒成立，得到ρ的取值范围．
解答：解：
（1）当a=1时，
令f′（x）＞0时，解得0＜x＜1，所以f（x）在（0，1）递增；
令f′（x）＜0时，解得x＞1，所以f（x）在（1，+∞）递减．
（2）因为函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，所以a=-2，，
，g′（x）=3x²+（4+m）x-2，
因为对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上，
总存在极值，所以只需，解得
（3）设
当ρ=-1时，，∴递增，所以F（1）=4＞0成立；
时，不成立，（舍）
时，F（x）在[1，2]递增，所以F（1）=-2p-2≥0，解得ρ≤-1
所以，此时ρ＜-1和ρ=-1时，F（x）在[1，2]递增，成立；ρ＞-1时，均不成立．
综上，ρ≤-1
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，会根据直线的倾斜角求直线的斜率，理解函数恒成立取到的条件．