Question

已知四棱锥A－BCDE，其中AB＝BC＝AC＝BE＝1，CD＝2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．

(Ⅰ)求证：EF∥面ABC；

(Ⅱ)求证：面ADE⊥面ACD；

(Ⅲ)求四棱锥A－BCDE的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)取AC中点G，连结FG、BG， 　　∵F，G分别是AD，AC的中点 　　∴FG∥CD，且FG＝DC＝1． 　　∵BE∥CD 　　∴FG与BE平行且相等　2分 　　∴EF∥BG． 　　 　　∴∥面　5分 　　(Ⅱ)∵△ABC为等边三角形 　　∴BG⊥AC 　　又∵DC⊥面ABC，BG面ABC 　　∴DC⊥BG 　　∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC， 　　∴BG⊥面ADC．　8分 　　∵EF∥BG 　　∴EF⊥面ADC 　　∵EF面ADE，∴面ADE⊥面ADC．　10分 　　(Ⅲ)连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E－ABC和E－ADC． 　　．　14分 　　另法：取的中点为，连结，则，又平面， 　　∴，∴平面，∴为的高．