Question

已知f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)．
（1）问函数f（x）是奇函数还是偶函数；
（2）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）、先判断定义域关于原点对称，再验证f（x）=f（-x），得出f（x）为奇函数．
（2）、通过凑分母分离常数得函数解析式为f(x)=1-

2

2x+1

，这样自变量x只在分母上有，
利用不等式的性质逐步判式子2^x，2^x+1，

2

2x+1

，-

2

2x+1

，1-

2

2x+1

的范围，从而得函数的值域．

解答：解：（1）、由题意知f（x）的定义域为R关于原点对称，
又因为f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f(x)，
所以函数f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈R)为奇函数．
（2）、f(x)=

2x-1

2x+1

=

(2x+1)-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
因为x∈R，所以2^x＞0，所以2^x+1＞1，所以0 ＜

2

2x+1

＜2，
所以-2 ＜-

2

2x+1

＜0，所以-1 ＜1-

2

2x+1

＜1，
所以函数f（x）的值域为：（-1，1）．

点评：本题考查判断函数的奇偶性，求函数的值域，用到了奇偶性的定义，
通过凑分母分离常数，利用不等式的性质逐步判式子的范围．