Question

若函数g（x）=lg（x²-ax+3a）在[2，+∞）是增函数，则实数a的取值范围是

（-4，4]

．．

Answer 1

分析：利用复合函数的单调性遵循的规律：同增异减判断出t=x²-ax+3a的单调性；对数的真数大于0得到不等式恒成立，最后利用二次函数的单调性与对称轴有关及不等式恒成立转化为最值问题．

解答：解：令t=x²-ax+3a则y=lgt
∵y=lgt在（0，+∞）递增
又∵函数f（x）=lg（x²-ax+3a）在区间[2，+∞）上为单调增函数，
∴t=x²-ax+3a在区间[2，+∞）上为单调增函数，且  x²-ax+3a＞0在[2，+∞）恒成立
所以

a

2

≤2；2²-2a+3a＞0
解得-4＜a≤4
故答案为（-4，4]．

点评：本题考查复合函数的单调性遵循的规律：同增异减、考查二次函数的单调性与对称轴有关、考查不等式恒成立转化为函数最值的范围．