Question

已知椭圆E：=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为F₁，F₂，点P是右准线上任意一点，过F₂作直线PF₂的垂线F₂Q交椭圆于Q点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；
（3）证明：直线PQ与椭圆E只有一个公共点．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得，解出即可；
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，设P（3，y），Q（x₁，y₁），由PF₂⊥F₂Q，可得，利用斜率计算公式可得k_PQ•k_OQ及代入化简得直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）由（2）知，直线PQ的方程为，即，与椭圆的方程联立，消去一个未知数得到关于x的一元二次方程，只要证明△=0即可．
解答：解：：（1）由题意可得，解得，c=1，
所以椭圆E：．
（2）由（1）可知：椭圆的右准线方程为，
设P（3，y），Q（x₁，y₁），
因为PF₂⊥F₂Q，所以，
所以-y₁y=2（x₁-1）
又因为且代入化简得．
即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
（3）由（2）知，，，
∴．
∴直线PQ的方程为，即，
联立得，
∵，．
∴化简得：，又△=0，
解得x=x₁，所以直线PQ与椭圆C相切，只有一个交点．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．