Question

(本小题满分12分) 已知椭圆E：=1（a＞b＞o）的离心率e=，且经过点（,1），O为坐标原点。

  （Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

　（Ⅱ）圆O是以椭圆E的长轴为直径的圆，M是直线x=－4在x轴上方的一点，过M作圆O的两条切线，切点分别为P、Q，当∠PMQ=60°时，求直线PQ的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）x-y+2=0.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆E：椭圆E：=1（a＞b＞o）的离心率e=，可得a²=2b²，利用椭圆E：=1经过点（,1）我们有 ，从而可求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）连接OM，OP，OQ，设M（-4，m），由圆的切线性质及∠PMQ=60°，可知△OPM为直角三角形且∠OMP=30°，从而可求M（-4，4），进而以OM为直径的圆K的方程为（x+2）²+（y-2）²=8与圆O：x²+y²=8联立，两式相减可得直线PQ的方程．

解：（1）椭圆的标准方程为：    ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍4分

（2）连接QM，OP，OQ，PQ和MO交于点A，

有题意可得M（-4，m），∵∠PMQ=60⁰

∴∠OMP=30⁰，∵，

∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)             ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍7分

∴直线OM的斜率,有MP=MQ,OP=OQ可知OM⊥PQ,

,设直线PQ的方程为y=x+n      ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍9分

∵∠OMP=30⁰,∴∠POM=60⁰,∴∠OPA=30⁰,

,即O到直线PQ的距离为,   ﹍﹍﹍﹍10分

(负数舍去),∴PQ的方程为x-y+2=0.  ﹍﹍﹍﹍12分

考点：本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查圆与椭圆的综合。 是一道综合试题。

点评：解题的关键是确定M的坐标，进而确定以OM为直径的圆K的方程．