题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₂=3，2S_n-na_n-n=0（n∈N^））
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记 $数学公式$ ，求证：当n∈N^时， $数学公式$ ．

解：（1）∵2S_n-na_n-n=0，2S_n+1-（n+1）a_n+1-（n+1）=0
两式相减得2a_n+1-（n+1）a_n+1+na_n-1=0=1
∴na_n-（n-1）a_n+1=1
当n=1时，a₁=1；
当n≥2时，两边同除以n（n-1）得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴利用叠加法可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴n≥2时，a_n=2n-1，当n=1时，也成立
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
从而不等式 $\text{[math]}$ 等价于 $\text{[math]}$
即证明 $\text{[math]}$
又∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
即有 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$ 成立
分析：（1）根据2S_n-na_n-n=0，再写一式，两式相减可得na_n-（n-1）a_n+1=1，当n=1时，a₁=1；当n≥2时，两边同除以n（n-1）得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，利用叠加法即可确定数列的通项；
（2）用分析法证明不等式，由（1）知， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而不等式 $\text{[math]}$ 等价于 $\text{[math]}$ ，即证明 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ 可得结论．
点评：本题考查数列的通项，考查不等式的证明，解题的关键是利用叠加法求数列的通项，利用放缩法证明不等式．