Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n为正整数）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求出a_n和a_n-1的关系式，再用构造法能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由数列{a_n}的通项公式得到

an

n

=2n，再根据已知条件利用对数函数的性质求出b_n，利用裂项求和法能求出数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答：解：（1）∵S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n为正整数），
∴a1=2a1-22+2，解得a₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2ⁿ⁺¹+2-2a_n-1+2ⁿ-2=2an-2an-1-2n，
∴an=2an-1+2n，
∴

an

2n

=

an-1

2n-1

+1，
又∵

a1

2

=1，∴数列{

an

2n

}是首项和公差均为1的等差数列，
∴

an

2n

=n，∴an=n•2n．
（2）∵an=n•2n，
∴

an

n

=2n，
∴b_n=log₂a₁+log2

a2

2

+…+log2

an

n

=log22+log222+…+log22n
=1+2+…+n
=

n(n+1)

2

，
∴

1

bn

=

2

n(n+1)

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

2n

n+1

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意构造法和裂项求和法的合理运用．