Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）对任意n∈N^*，是否存在正实数λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，若存在，求出λ的最小值，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）设数列{a_n}的公差为d，数列{b_n}的公比为q，
∵a₁=b₁=2，a₃+b₄=24，S₅-b₄=24．
∴，解得．
∴
（2）假设存在正实数λ，使不等式a_n-9≤λb_n恒成立，
∴3n-1-9≤λ•2ⁿ，即对任意n∈N^*恒成立．
设，
则，
当n≥5时，c_n+1＜c_n，{c_n}为单调递减数列；
当1≤n＜5时，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列．
又，
所以当n=5时，c_n取得最大值
所以要使对任意n∈N^*恒成立，
则，
即．
分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用（1）的结论及数列的单调性即可得出．
点评：熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式、数列的单调性是解题的关键．