Question

已知函数f（x）=

x+a-1

x+2a

，（a＞0），
（Ⅰ）当f（x）∈[

1

2

，

4

5

]时，求x的取值范围．
（Ⅱ）若f（0）=0，正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），
①证明{

1

an

+1}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
②若S_n是数列{a_n}的前n项和，证明：S_n＜2．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

，解分式不等式可求x的范围
（2）①由f（0）=0，可求a，进而可求f（x），由a_n+1=f（a_n）可得，

1

an+1

=

2

an

+1，构造

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)，可知数列{

1

an

+1}是等比数列，可求

1

an

+1，进而可求a_n
②由an=

1

2n-1

＜

1

2

•

1

2n-1-1

=

1

2

an-1可证明an＜

1

2n-1

a1=

1

2n-1

，可证

解答：解：（1）∵f（x）∈[

1

2

，

4

5

]，
∴

1

2

≤

x+a-1

x+2a

≤

4

5

∴

x+a-1 x+2a ≥ 1 2 x+a-1 x+2a ≤ 4 5

∴

x-2 x+2a ≥0 x-3a-5 x+2a ≤0

又a＞0，
所以

x＜-2a或x≥2 -2a＜x≤3a+5

∴2≤x≤3a+5
（2）①∵f（0）=0，
∴a=1，f（x）=

x

x+2

，
由a_n+1=f（a_n），可得，

1

an+1

=

2

an

+1，
即

1

an+1

+1=2(

1

an

+1)
∵a₁=1
∴

1

a1

+1=2
∴数列{

1

an

+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴

1

an

+1=2ⁿ
∴an=

1

2n-1

②∴an=

1

2n-1

＜

1

2

•

1

2n-1-1

=

1

2

an-1
∴an＜

1

2n-1

a1=

1

2n-1

∴S_n=a₁+a₂+…+a_n＜1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2

点评：本题主要考查了利用待定系数求解函数的解析式，等比数列的 定义法的证明，及等比数列的 通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用等知识的综合．