Question

20．已知：函数f（x）=lg（1-x）+lg（p+x），其中p＞-1
（1）求f（x）的定义域；
（2）若p=1，当x∈（-a，a]其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值，若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用对数函数的定义域，解不等式即可得到所求定义域；
（2）运用对数的运算性质和对数函数的单调性和二次函数的最值，即可得到所求最值．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}{1-x＞0}\\{p+x＞0}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{x＞-p}\end{array}\right.$，由p＞-1，可得-p＜1，
即有-p＜x＜1，则函数的定义域为（-p，1）；
（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）=lg（1-x²），（-a＜x≤a），
令t=1-x²，（-a＜x≤a），y=lgt，为递增函数．
由t的范围是[1-a²，1]，
当x=a时，y=lgt取得最小值lg（1-a²），
故存在x=a，函数f（x）取得最小值，且为lg（1-a²）．

点评 本题考查函数的定义域和最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．