Question

10．下列结论中正确的是（　　）

• A． 当x＞0且x≠1时，lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2
• B． 当x＞0且x≠1时，$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{x}}$≥2
• C． 当x≥3时，x+$\frac{1}{x}$的最小值是$\frac{10}{3}$
• D． 当0＜x≤1时，x-$\frac{1}{x}$无最大值

Answer 1

分析 本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．

解答 解：选项A，当x＞0且x≠1时，lgx正负不定，故不可得到lgx+$\frac{1}{lgx}$≥2，故错误；
对于B，x＞0，∴$\sqrt{x}$＞0，∴$\sqrt{x}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$≥2当且仅当x=1时取等号，故B错误；
对于C：令f（x）=x+$\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
∴f（x）在（1，+∞）递增，f（x）_min=f（3）=$\frac{10}{3}$，故C正确；
对于D，x-$\frac{1}{x}$在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值，故D错误；
故选：C．

点评 本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．