Question

已知f（x）是偶函数，定义域为{x|x∈R，x≠0}，又f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（-2）=0，则不等式f（x-2）＞0的解集为________．

Answer 1

（0，2）∪（2，4）
分析：由于题目中没有给出函数的解析式，故不等式f（x-2）＞0一定要用到函数的单调性，可根据已知：f（x）在（0，+∞）上是减函数，f（x）是偶函数分析函数的单调性，再结合f（-2）=0，我们不难给出各区间上，f（x）与0的关系，进一步给出不等式f（x-2）＞0的解集．
解答：∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，且f（x）是偶函数
∴f（x）在（-∞，0）上是增函数
又∵f（-2）=0，∴f（2）=0
当x∈（-∞，-2）时，f（x）＜0；
当x∈（-2，0）时，f（x）＞0；
当x∈（0，2）时，f（x）＞0；
当x∈（2，+∞）时，f（x）＜0；
若f（x-2）＞0
则x-2∈（-2，0）∪（0，2）
则x∈（0，2）∪（2，4）
故答案为：（0，2）∪（2，4）
点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．