Question

已知函数f（x）=lnx，，设F（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数F（x）的单调区间；
（Ⅱ）若以函数y=F（x）（0＜x≤3）图象上任意一点P（x，y）为切点的切线斜率恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将a=1代入求出函数F（x）的解析式后求导数，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减可求单调区间．
（2）先求函数F（x）的导数，然后令导函数小于等于在（0，3]恒成立可求a的范围进而求a的最小值．
解答：解：（Ⅰ）由已知a=1，可得，函数的定义域为（0，+∞），
则
由可得F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
得F（x）在（0，1）上单调递减；
（Ⅱ）由题意可知对任意0＜x≤3恒成立，
即有对任意0＜x≤3恒成立，即，
令，
则，即实数a的最小值为．
点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数正负之间的关系，进当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．