Question

【题目】已知函数 且.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，求证：；

(3)讨论函数的极值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值.

解：（Ⅰ）当时，．所以．

因为，

所以曲线在处的切线方程为．

（Ⅱ）当时，．

函数的定义域为．

不等式成立 成立 成立.

设 ，

则．

当变化时，，变化情况如下表：

	＋		－
	↗	极大值	↘

所以．

因为，所以，

所以．

（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．

当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：

	＋		－
	↗	极大值	↘

此时有极大值，无极小值．

当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：

	－		＋
	↘	极小值	↗

此时有极小值，无极大值．