Question

已知定义在R上的奇函数f（x），设其导函数f′（x），当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），则满足的实数x的取值范围是（　　）

A．

（﹣1，2）

B．

（﹣1，）

C．

（，2）

D．

（﹣2，1）

Answer 1

考点：

利用导数研究函数的单调性．

专题：

导数的概念及应用．

分析：

由函数f（x）是定义在R上的奇函数且xf′（x）＜f（﹣x）可得，[xf（x）]^′＜0，所以函数F（x）=xf（x）为（﹣∞，0]上的减函数，因为函数F（x）为偶函数，所以函数F（x）=xf（x）为[0，+∞）上的增函数．由得（2x﹣1）f（2x﹣1）＜3f（3），所以F（2x﹣1）＜F（3），所以|2x﹣1|＜3，解得﹣1＜x＜2．

解答：

解：∵函数f（x）是定义在R上的奇函数

∴f（﹣x）=﹣f（x）

∴由xf′（x）＜f（﹣x）可得xf^′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]^′＜0

∵当x∈（﹣∞，0]时，恒有xf′（x）＜f（﹣x），

∴当x∈（﹣∞，0]时，恒有[xf（x）]^′＜0

设F（x）=xf（x）

则函数F（x）=xf（x）为（﹣∞，0]上的减函数．

∵F（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）（﹣f（x））=xf（x）=F（x）

∴函数F（x）为R上的偶函数．

∴函数F（x）=xf（x）为[0，+∞）上的增函数．

∵

∴（2x﹣1）f（2x﹣1）＜3f（3）

∴F（2x﹣1）＜F（3）

∴|2x﹣1|＜3

解得﹣1＜x＜2

故选A

点评：

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、解不等式，体现了化归与转化的数学思想．