Question

一动圆与圆A：（x+5）²+y²=1和圆B：（x-5）²+y²=81都外切
（Ⅰ）动圆的圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的轨迹方程
（Ⅱ）点P是曲线C上的点，且∠APB=120°，求△APB的面积．

Answer 1

分析：（I）求出两圆圆心分别为A（-5，0）、B（5，0），半径分别为r₁=1、r₂=9．由动圆与圆A和圆B都外切，列式化简得|MB|-|MA|=8（常数），从而得到点M的轨迹是以为A、B焦点的双曲线的左支．再利用双曲线的标准方程与基本概念加以计算，即可求出曲线C的轨迹方程；
（II）根据余弦定理和双曲线的定义列式，联解得到|PA|•|PB|=12，再由三角形的面积公式加以计算，即可得到△APB的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵圆A方程为（x+5）²+y²=1，∴圆心为A（-5，0），半径r₁=1，
同理可得圆B的圆心为B（5，0），半径r₂=9．
设动圆的半径为r，由于动圆与圆A和圆B都外切，
可得|MA|=r+1且|MB|=r+9，得|MB|-|MA|=8（常数）．
因此，点M的轨迹是以为A、B焦点的双曲线的左支，
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则c=5，2a=8，可得a=4，b=

c2-a2

=3，
∴双曲线的方程为

x2

16

-

y2

9

=1，得所求曲线C的轨迹方程为

x2

16

-

y2

9

=1(x≤-4)．
（Ⅱ）∵|PB|-|PA|=8，|AB|=10，且∠APB=120°
∴由余弦定理，得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA|•|PB|cos120°，
即|PA|²+|PB|²+|PA|•|PB|=100
又∵（|PA|-|PB|）²=|PA|²+|PB|²-2•|PA|•|PB|=64，
∴两式相减，得|PA|•|PB|=12，
因此，△APB的面积为S=

1

2

|PA|•|PB|•sin120° =3

3

．

点评：本题给出动圆满足的条件，求圆心的轨迹方程，着重考查了圆与圆的位置关系、双曲线的定义与标准方程和余弦定理等知识，属于中档题．