Question

【题目】如图,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面,平面平面,且,且.

（1）设点为棱中点,在面内是否存在点,使得平面？若存在,请证明,若不存在,说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在点，为中点；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题意可知平面,所以只要构造直线即可，连接，取中点，构造三角形的中位线即可；（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系,求出平面与平面的法向量，利用空间向量相关知识求解即可.

试题解析：（1）连接，交于点，连接，则平面

证明：为中点，为中点

为的中位线，

又平面平面

平面平面=,平面,

平面

，

又，

平面

所以平面

（2）以A为原点，AE，AB，AD所在直线分别为轴，轴，轴建立坐标系，

平面PEA

平面PEA的法向量

另外，，

，,设平面DPE的法向量，则

，令，得

又为锐二面角,所以二面角的余弦值为