Question

已知函数f（x）=x3-2ax2+3x（x∈R）．

（1）若a=1,点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；

（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．

 

Answer 1

（1）；（2）1．

【解析】

试题分析：（1）先求函数的导数，再利用配方法求出导数最小值及导数取最小值时的，从而确定斜率最小的切线的斜率及切点坐标，写出该切线的方程；

（2） 若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，则在上恒成立，可由分离变量法求出的取值范围，并确定满足条件的最大整数a．

试题解析：【解析】
（1）设切线的斜率为，

则， 2分

当时，又，

所以所求切线的方程为

即 6分

（2）因为，要使为单调增函数，

必须满足，

即对任意的，恒有 8分

而，而当且仅当时，等号成立．

所以 12分

所求满足条件的值为1．

考点：1、导数的几何意义；2、导数在研究函数性质中的应用；3、分离变量法求参数的取值范围．