Question

设．
（1）当a=-1，b=4时，求函数f（e^x）（e是自然对数的底数．）的定义域和值域；
（2）求满足下列条件的实数a的值：至少有一个正实数b，使函数f（x）的定义域和值域相同．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函数，结合函数解析式可得-e^2x+4e^x≥0，解不等式可求函数的定义域
利用换元法，结合二次函数的性质可求函数的值域
（2）结合函数解析式的特点，考虑对a分类讨论：对①a=0，②a＞0，③a＜0三种情况分别求解函数的值域，即可进行判断
解答：（14分）解：（1），
由-e^2x+4e^x≥0解得0＜e^x≤4，∴x≤ln4，
所以函数f（e^x）的定义域是（-∞，ln4]．…（2分）
设e^x=t＞0，则，
记g（t）=-t²+4t（t＞0），∴g（t）∈[0，4]，∴f（e^x）∈[0，2]，即f（e^x）的值域是[0，2]…（4分）
（2）①若a=0，则对于每个正数b，的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件；             …（6分）
②若a＞0，则对于正数b，的定义域为D={x|ax²+bx≥0}=，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），
故D≠A，即a＞0不合条件；           …（9分）
③若a＜0，则对正数b，的定义域
由于此时，故f（x）的值域为
则
综上所述：a的值为0或-4…（14分）
点评：本题主要考查了换元法求解函数的值域，二次函数性质的应用，值域的求解，体现了分类讨论思想的应用