Question

已知函数f（x）=ax³+x²-ax（a，x∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，试求a的取值或取值范围；
（3）设函数h(x)=

1

3

f′(x)+(2a+

1

3

)x-

8

3

a+1，x∈（-1，b]，（b＞-1），如果存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]都有h（x）≥0成立，试求b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求导数，确定函数的单调性，可得函数的极值；
（2）若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，由此可求a的取值；
（3）存在a∈（-∞，-1]，对任意x∈（-1，b]（b＞-1）都有h（x）≥0成立，等价于h（x）≥h（-1）在区间[-1，b]上恒成立，即（x+1）[ax²+（2a+1）x+（1-3a）]≥0，进而分类讨论，即可求得结论．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x³+x²-x，∴f′（x）=3x²+2x-1，
令f′（x）=0，则x1=

1

3

，x₂=-1，…（2分）
x、f′（x）和f（x）的变化情况如下表

x	（-∞，-1）	-1	(-1， 1 3 )	1 3	( 1 3 ，+∞)
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值f（-1）=1	↘	极小值f( 1 3 )=- 5 27	↗

即函数的极大值为1，极小值为-

5

27

；                       …（5分）
（2）f'（x）=3ax²+2x-a，
若f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数，则f'（x）在区间[0，+∞）内恒大于或等于零，
若a＜0，二次函数图象开口向下，不可能在[0，+∞）上单调递增；
若a=0，则f（x）=x²符合条件；
若a＞0，则由二次函数f'（x）=3ax²+2x-a的性质知

- 2 3a ＜0 f(0)=-a＞0

，即

a＞0 a＜0

，这也不可能，
综上可知，当且仅当a=0时，f（x）在区间[0，+∞）上单调递增；     …（10分）
（3）由f'（x）=3ax²+2x-a，h(x)=

1

3

f′(x)+(2a+

1

3

)x-

8

3

a+1，
∴h（x）=ax²+（2a+1）x+（1-3a），x∈（-1，b]，（b＞-1），
当-1＜x≤b时，令ax²+（2a+1）x+（1-3a）≥0，…①，
由a∈（-∞，-1]，∴h（x）的图象是开口向下的抛物线，
故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，…（11分）
又h（-1）=-4a＞0，
∴不等式①恒成立的充要条件是h（b）≥0，即ab²+（2a+1）b+（1-3a）≥0，
∵b＞-1，∴b+1＞0，且a＜0，∴

b2+2b-3

b+1

≤-

1

a

，
依题意这一关于a的不等式在区间（-∞，-1]上有解，
∴

b2+2b-3

b+1

≤(-

1

a

)max，即

b2+2b-3

b+1

≤1，b²+b-4≤0，
∴

-1- 17

2

≤b≤

-1+ 17

2

，又b＞-1，故-1＜b≤

-1+ 17

2

，
从而bmax=

-1+ 17

2

．                     …（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想，属于中档题．