Question

数列{}的前n项和为，．
（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前项和；
（Ⅲ）若，．求不超过的最大整数的值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

解析试题分析：（Ⅰ） 由，令可求，时，利用可得与之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ）  由（Ⅰ）可求，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅰ）可求，进而可求，代入P中利用裂项求和即可求解
试题解析：解:(Ⅰ) 因为，
所以  ① 当时，，则，            .（1分）
② 当时，，        .（2分）
所以，即，
所以，而，        .（3分）
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．     .（4分）
（Ⅱ） 由(Ⅰ)得．
所以 ①
②     .（6分）
②-①得：     .（7分）
     （8分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知        （9分）
而
，     （11分）
所以，
故不超过的最大整数为．                 （14分） .
考点：1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和.