Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N．设AP=x．
（1）在△ABC中，AB=

 

；
（2）当x=

 

时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明．

Answer 1

分析：（1）由已知中在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6由勾股定理，可以求出AB的长；
（2）由已知中AP=x，我们可以分别求出MC，PN，MP，CN的长，进而得到矩形PMCN的周长的表达式，结合已知中矩形PMCN的周长是14，构造方程，解方程后即可得到对应x有值．
（3）分别求出△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积的表达式，分别求出使S_△PAM=S_△PBN的x值和使S_△PAM=S_PMCN的x值，判断两者是否相等，如果相等则存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等，否则，得到相反的结论．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6．
∴AB=

AC2+BC2

=10
（2）若AP=x，则MC=PN=

4

5

(10-x)，MP=CN=

3

5

x
则矩形PMCN的周长为16-

2

5

x
又∵矩形PMCN的周长是14
∴x=5
（3）∵AP=x，
∴△PAM的面积S_△PAM=

6

25

x²，
△PBN的面积S_△PBN=

6

25

（10-x）²，
矩形PMCN的面积S_PMCN=

12

25

x（10-x）
若S_△PAM=S_△PBN，则x²=（10-x）²，解得，x=5；
若S_△PAM=S_PMCN，则x²=2x（10-x），即x=

20

3

，
故不存在x的值，使△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等

点评：本题考查的知识点是勾股定理，三角形及矩形的面积公式，二次方程的解法，在（3）中求出△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积的表达式，是解答的关键．