Question

△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

2

sinA=

3cosA

（1）求角A的值；
（2）若a=

3

，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得可得 2sin²A=3cosA，根据同角三角函数的基本关系解得cosA 的值，即可求得A的值．
（2）由（1）得 b²+c²-3=bc，又 b²+c²≥2bc，可得bc≤3，由此求得△ABC面积的最大值．

解答：解：（1）由

2

sinA=

3cosA

 可得：2sin²A=3cosA，
∴2cos²A+3cosA-2=0，解得：cosA=

1

2

 或-2 （舍去），因此A=

π

3

．…（6分）
（2）由（1）得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，即：b²+c²-3=bc．
 又 b²+c²≥2bc，∴bc≤3．
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc≤

3 3

4

．
故△ABC面积的最大值是

3 3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，余弦定理的应用，以及根据三角函数值求角，属于中档题．