Question

已知数列{a_n}的首项a₁=5,前n项和为S_n,且S_n+1=2S_n+n+5(n∈N^*).

(1)证明数列{a_n+1}是等比数列;

(2)令f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,求函数f(x)在点x=1处的导数f′(1),并比较2f′(1)与23n²-13n的大小.

Answer 1

(1)证明:由已知S_n+1=2S_n+n+5,

    ∴n≥2时,S_n=2S_n-1+n+4.

    两式相减,得

    S_n+1-S_n=2(S_n-S_n-1)+1,

    即a_n+1=2a_n+1.

    从而a_n+1+1=2(a_n+1).

    当n=1时,S₂=2S₁+1+5,

    ∴a₁+a₂=2a₁+6.

    又a₁=5,∴a₂=11.

    从而a₂+1=2(a₁+1).

    故总有a_n+1+1=2(a_n+1),n∈N^*.

    又∵a₁=5,∴a_n+1≠0.

    从而=2,

    即{a_n+1}是以a₁+1=6为首项,2为公比的等比数列.

(2)解:由(1)知a_n=3×2ⁿ-1.

    ∵f(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ,

    ∴f′(x)=a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1,

    从而f′(1)=a₁+2a₂+…+na_n,

    =(3×2-1)+2(3×2²-1)+…+n(3×2ⁿ-1)

    =3(2+2×2²+…+n×2ⁿ)-(1+2+…+n)

    =3［n×2ⁿ⁺¹-(2+…+2ⁿ)］-

    =3［n×2ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹+2］-=3(n-1)·2ⁿ⁺¹-+6.

    由上2f′(1)-(23n²-13n)

    =12(n-1)·2ⁿ-12(2n²-n-1)

    =12(n-1)·2ⁿ-12(n-1)(2n+1)

    =12(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］,                      (*)

    当n=1时,(*)式=0,

    ∴2f′(1)=23n²-13n.

    当n=2时,(*)式=-12＜0,

    ∴2f′(1)＜23n²-13n.

    当n≥3时,n-1＞0,

    又2ⁿ=(1+1)ⁿ=C⁰_n+C¹_n+…+Cⁿ_n+Cⁿ_n≥2n+2＞2n+1,

    ∴(n-1)［2ⁿ-(2n+1)］＞0,

    即(*)＞0.

    从而2f′(1)＞23n²-13n.

    〔或用数学归纳法:n≥3时,猜想2f′(1)＞23n²-13n.

    由于n-1＞0,只要证明2ⁿ＞2n+1.事实上,

    ①当n=3时,2³＞2×3+1,不等式成立.

    ②设n=k时(k≥3),有2^k＞2k+1,

    则2^k+1＞2(2k+1)=4k+2

    =2(k+1)+1+(2k-1).

    ∵k≥3,

    ∴2k-1＜0.

    从而2^k+1＞2(k+1)+1+(2k-1)＞2(k+1)+1,

    即n=k+1时,亦有2ⁿ＞2n+1.

    综上①②,知2ⁿ＞2n+1对n≥3,n∈N^*都成立.

    ∴n≥3时,有2f′(1)＞(23n²-13n)〕

    综上n=1时,2f′(1)=23n²-13n;

    n=2时,2f′(1)＜23n²-13n;

    n≥3时,2f′(1)＞23n²-13n.