Question

给出下列命题：
①如果向量，，共面，向量，，也共面，则向量，，，共面；
②已知直线a的方向向量与平面α，若∥平面α，则直线a∥平面α；
③若P、M、A、B共面，则存在唯一实数x、y使=x+y；
④对空间任意点O与不共线的三点A、B、C，若=x+y+z（其中x+y+z=1），则P、A、B、C四点共面； 在这四个命题中为真命题的序号有    ．

Answer 1

【答案】分析：我们可以根据共面向量的性质对四个结论逐一进行判断，
①令，则满足，但不一定共面，①不对，
②若∥平面α，则直线a∥平面α或a?α，所以②也不对；
③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y满足条件式，③错；
④由共面向量基本定理的推论，可得④正确．
解答：解：①，满足向量，，共面，向量，，也共面，但向量，，，不一定共面，故①不正确；
    ②若∥平面α，则直线a∥平面α或a?α，故②不正确；
    ③不妨令M、A、B三点共线，点P∉AB，则不存在实数x、y使=x+y，故③不正确；
④∵三点A、B、C不共线，=x+y+z，x+y+z=1，
∴=x+y+（1-x-y）==，∴
      ，由共面向量基本定理知，P、A、B、C四点共面，故④正确．
   故答案为：④
点评：本题考查空间向量中的概念，共面向量基本定理及推论，解决的主要方法是特例法与转化思想的灵活运用．