Question

如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC
（2）如果sinA=，cosB=，求cosC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用和角的正切公式，结合三角形的内角和，即可证得结论；
（2）先求出cosA，再利用和角的余弦公式，即可求得cosC．
解答：（1）证明：由题意知：，，，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分）
又∵tan（A+B）=…．…（2分）
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分）
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分）
（2）解：由知道：，
∵sin²B+cos²B=1，∴sinB=…．…（6分）
而sinA＞sinB，∴A＞B
①当A∈（0，）时，cosA=…（7分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB==-…．…（9分）
②当A∈（，π）时，cosA=-…．…（10分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB==…（12分）
点评：本题考查和角的正切公式与余弦公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键，属于中档题．