Question

（2012•汕头一模）如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三个内角：
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC
（2）如果sinA=

4

5

，cosB=

12

13

，求cosC．

Answer 1

分析：（1）利用和角的正切公式，结合三角形的内角和，即可证得结论；
（2）先求出cosA，再利用和角的余弦公式，即可求得cosC．

解答：（1）证明：由题意知：A≠

π

2

，B≠

π

2

，C≠

π

2

，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分）
又∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

…．…（2分）
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分）
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分）
（2）解：由cosB=

12

13

＞0知道：B∈(0，

π

2

)，
∵sin²B+cos²B=1，∴sinB=

5

13

…．…（6分）
而sinA＞sinB，∴A＞B
①当A∈（0，

π

2

）时，cosA=

3

5

…（7分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

2

13

=-

16

65

…．…（9分）
②当A∈（

π

2

，π）时，cosA=-

3

5

…．…（10分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

5

13

-(-

3

5

)×

2

13

=

56

65

…（12分）

点评：本题考查和角的正切公式与余弦公式，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，正确运用公式是关键，属于中档题．