Question

已知椭圆的方程为，点的坐标满足过点的直线与椭圆交于、两点，点为线段的中点，求：

（1）点的轨迹方程；
（2）点的轨迹与坐标轴的交点的个数．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）
当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）
同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）
当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）

（1）设点、的坐标分别为、，点的坐标为．当时，设直线的斜率为，则的方程为
由已知         （1）
（2）
由（1）得
， （3）
由（2）得
，             （4）
由（3）、（4）及，，，
得点Q的坐标满足方程
                     （5）
当时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）显然点Q的坐标满足方程（5）
综上所述，点Q的坐标满足方程

设方程（5）所表示的曲线为L，
则由
得
因为，由已知，
所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）
当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点
因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内
故点Q的轨迹方程为
（2）由 解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）
由 解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）
当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）
当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）
同理，当b=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）
当且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）