题目内容
设函数f（x）=tanx-8sinx，其中x∈(-
，
)．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对?x1∈[0，
]，?x2∈[0，
]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a恒成立，求实数a的取值范围．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对?x1∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
分析：（1）求导函数，利用导数的正负可得函数的单调区间；
（2）对?x1∈[0，
]，?x2∈[0，
]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a恒成立，等价于|f（x1）-f（x2）|max≤a，由此可求实数a的取值范围．
（2）对?x1∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（1）由f（x）=tanx-8sinx，得f′(x)=
-8cosx=
＞0，
即 cosx＜
，其中x∈(-
，
)，解得，x∈(-
，-
)∪(
，
)，
所以，函数f（x）的单调递增区间是：(-
，-
)，(
，
)，递减区间是(-
，
)．
（2）若对?x1∈[0，
]，?x2∈[0，
]，都有|f（x1）-f（x2）|≤a恒成立，
只需|f（x1）-f（x2）|max≤a．
由（1）得 f（x）在区间 (0，
)上单调递减，
所以，当x1∈[0，
]时，-3
≤f（x1）≤0，
同理，-3
≤f（x2）≤0，
所以，-3
≤f（x1）-f（x2）≤3
，
所以0≤|f（x1）-f（x2）|≤3
，
所以|f（x1）-f（x2）|max=3
，
所以，a≥3
．
| 1 |
| cos2x |
| 1-8cos3x |
| cos2x |
即 cosx＜
| 1 |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
所以，函数f（x）的单调递增区间是：(-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（2）若对?x1∈[0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
只需|f（x1）-f（x2）|max≤a．
由（1）得 f（x）在区间 (0，
| π |
| 3 |
所以，当x1∈[0，
| π |
| 3 |
| 3 |
同理，-3
| 3 |
所以，-3
| 3 |
| 3 |
所以0≤|f（x1）-f（x2）|≤3
| 3 |
所以|f（x1）-f（x2）|max=3
| 3 |
所以，a≥3
| 3 |
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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