Question

若无穷等差数列{a_n}中，a₁=1，公差为d，前n项和为S_n，其中（c为常数）
（1）求d的值；
（2）若d＞0，数列{b_n}的前n项和为T_n，且，若对于任意的正整数n总有恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据等差数列的前n和公式把已知条件整理可得可得整理可得，根据等式与n无关的常数可求d的值
（2）若d＞0，由（1）可得d=2，a₁=1，先求a_n=1+（n-1）×2=2n-1，代入求b_n，T_n
∴==①
总有恒成立，转化为求①的最小值，使得m≤①式的最小值即可
解答：解：（1）根据等差数列的前n和公式可得，
 整理可得
当d=0时符合题意
当d≠0时，进一步整理可得（ 4-C）dn=2C-Cd-4+2d与n无关，可得C=4，d=2
d=0，或d=2
（2）（2）若d＞0，由（1）可得d=2，a₁=1，由等差数列的通项公式可得a_n=1+（n-1）×2=2n-1
∴是以

∴==
当n=1时式子有最小值
总有恒成立，则m
点评：本题综合考查了等差数列的求和公式、等差及等比数列的通项公式的求解、等比数列的求和公式、不等式的恒成立问题，转化思想在解题中的应用．