Question

若无穷等差数列{a_n}中，a₁=1，公差为d，前n项和为S_n，其中

S2n

Sn

=c（c为常数）
（1）求d的值；
（2）若d＞0，数列{b_n}的前n项和为T_n，且bn=

2an

，若对于任意的正整数n总有

TnTn+2

Tn+12

≥m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据等差数列的前n和公式把已知条件整理可得可得整理可得

4+(4n-2)d

2+(n-1)d

= C，根据等式与n无关的常数可求d的值
（2）若d＞0，由（1）可得d=2，a₁=1，先求a_n=1+（n-1）×2=2n-1，代入求b_n，T_n
∴

TnTn+2

Tn+12

=

(2n-1)(2n+2-1)

(2n+1- 1)2

=

4•(2n)2-5•2n+1

4 •(2n)2-4•2n+1

=1-

2n

(2•2n-1)2

①
总有

TnTn+2

Tn+12

≥m恒成立，转化为求①的最小值，使得m≤①式的最小值即可

解答：解：（1）根据等差数列的前n和公式可得，

S2n

Sn

=

2n+ 2n(2n-1) 2 d

n+ n(n-1) 2 d

=C
 整理可得

4+(4n-2)d

2+(n-1)d

= C
当d=0时符合题意
当d≠0时，进一步整理可得（ 4-C）dn=2C-Cd-4+2d与n无关，可得C=4，d=2
d=0，或d=2
（2）（2）若d＞0，由（1）可得d=2，a₁=1，由等差数列的通项公式可得a_n=1+（n-1）×2=2n-1
∴bn=

22n-1

=

2

2n-1是以

2

为首项，以2为公比的等比数列
Tn=

2 (1-2n)

1-2

=

2

(2n-1)
∴

TnTn+2

Tn+12

=

(2n-1)(2n+2-1)

(2n+1- 1)2

=

4•(2n)2-5•2n+1

4 •(2n)2-4•2n+1

=1-

2n

(2•2n-1)2

当n=1时式子有最小值

7

9

总有

TnTn+2

Tn+12

≥m恒成立，则m≤

7

9

m≤

7

9

点评：本题综合考查了等差数列的求和公式、等差及等比数列的通项公式的求解、等比数列的求和公式、不等式的恒成立问题，转化思想在解题中的应用．