Question

13．已知${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=3，求下列各式的值：
（1）a+a^-1．（2）a²+a^-2；（3）a²-a^-2．

Answer 1

分析 （1）由a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，可得a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2；
（2）a²+a^-2=（a+a^-1）²-2；
（3）由a-a^-1=$±\sqrt{（a+{a}^{-1}）^{2}-4}$，a²-a^-2=（a-a^-1）（a+a^-1）．

解答 解：（1）∵a${\;}^{\frac{1}{2}}$+a${\;}^{-\frac{1}{2}}$=3，
∴a+a^-1=$（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}$-2=3²-2=7；
（2）a²+a^-2=（a+a^-1）²-2=7²-2=47；
（3）∵a-a^-1=$±\sqrt{（a+{a}^{-1}）^{2}-4}$=±$3\sqrt{5}$．
∴a²-a^-2=（a-a^-1）（a+a^-1）=$±21\sqrt{5}$．

点评 本题考查了乘法公式、指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．