Question

平面直角坐标系xOy中，已知⊙M经过点F₁（0，-c），F₂（0，c），A（c，0）三点，其中c＞0．
（1）求⊙M的标准方程（用含c的式子表示）；
（2）已知椭圆（其中a²-b²=c²）的左、右顶点分别为D、B，⊙M与x轴的两个交点分别为A、C，且A点在B点右侧，C点在D点右侧．
①求椭圆离心率的取值范围；
②若A、B、M、O、C、D（O为坐标原点）依次均匀分布在x轴上，问直线MF₁与直线DF₂的交点是否在一条定直线上？若是，请求出这条定直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则由题设，得，由此能求出⊙M的方程．
（2）⊙M与x轴的两个交点，，又B（b，0），D（-b，0），由题设，由此能求出椭圆离心率的取值范围．
（3）由，得．所以直线MF₁的方程为，由此能够导出直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线上．
解答：解：（1）设⊙M的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由题设，得
解得
⊙M的方程为，
⊙M的标准方程为；（5分）
（2）⊙M与x轴的两个交点，，
又B（b，0），D（-b，0），
由题设即
所以解得，
即．所以椭圆离心率的取值范围为；（10分）
（3）由（1），得．
由题设，得．
∴，．
∴直线MF₁的方程为，
①直线DF₂的方程为．
②由①②，得直线MF₁与直线DF₂的交点，
易知为定值，
∴直线MF₁与直线DF₂的交点Q在定直线上．（15分）
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意圆曲线的性质和公式的合理运用．