Question

如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y 轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且，点P随线段MN的运动而变化．
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）用消参法求轨迹方程，可先设出M，N，P点的坐标，用M，N点的坐标表示P点坐标，再消掉参数即可．
（2）先假设存在直线l，使四边形OASB的对角线相等，四边形OASB为矩形，OA⊥OB，再设出l的方程，与（1）中所求椭圆方程联立，得到x₁x₂，y₁y₂的表达式，根据OA⊥OB，x₁x₂+y₁y₂=0，求k，若能求出，则存在，否则，不存在．
解答：解：（1）设M（x，0），N（0，y），P（x，y） 因为|MN|=5，所以x²+y²=25（*）
又点P是MN上一点，且|MP|=2，所以P分所成的比为
∴∴
将其代入（*）得即为所求的方程
（2），所以四边形OASB为平行四边形，若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形
∴若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由
∴矛盾，故l的斜率存在．
设l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]=②
把①、②代入
∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等
点评：本题考查了消参法求轨迹方程，以及存在性问题的求法，做题时要积极思考，找到解决方法．