Question

【题目】在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,∠BAD=∠BCD=90°,∠ADC=60°且AD=CD,BB1⊥平面ABCD,BB1=2AB=2.

（1）证明:AC⊥B1D.

（2）求BC1与平面B1C1D所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）答案见解析.（2）

【解析】

（1）设相交于，通过证明，证得，由此证得，根据平面，证得，由此证得平面，进而证得.

（2）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，通过直线的方向向量和平面的法向量，求得线面角的正弦值.

（1）证明:设AC,BD交于点O,

∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,

又∠BAD=∠BCD,∴∠BAC=∠BCA,∴AB=AC,

∴△ABD≌△CBD,∴∠ADB=∠CDB,

∴△AOD≌△COD,∴∠AOD=∠COD=90°,

∴AC⊥BD,

又BB1⊥平面ABCD,AC平面ABCD,

∴AC⊥BB1,又BD∩BB1=B,

∴AC⊥平面BDB1,又B1D平面BDB1,

∴AC⊥B1D.

（2）由（1）知，所以，所以，所以.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，所以，，所以.设平面的法向量为，则，即，令得，设直线与平面所成角为，则

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