Question

已知p：函数f(x)=lg(ax2-x+

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a)的定义域为R；q：函数f（x）=x³+ax²+x+2在（1，+∞）单调递增，如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的范围．

Answer 1

分析：分别求出命题p，q成立的等价条件，根据命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，确定实数a的范围即可．

解答：解：若函数f(x)=lg(ax2-x+

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a)的定义域为R，
则ax2-x+

1

16

a＞0恒成立．
若a=0，则-x＞0，即x＜0，不满足条件．
若a≠0，要使不等式恒成立，则

a＞0 △=1-4a• 1 16 a＜0

，
即

a＞0 a2＞4

，解a＞2．
即：p：a＞2．
函数f（x）=x³+ax²+x+2的导数为f'（x）=3x²+2ax+1，
要使函数f（x）=x³+ax²+x+2在（1，+∞）单调递增，
则f'（x）=3x²+2ax+1≥0在（1，+∞）上恒成立．
即a≥

-1-3x2

2x

=-(

1

2x

+

3x

2

)，
∵

1

2x

+

3x

2

在（1，+∞）上单调递增，
∴

1

2x

+

3x

2

＞

1

2

+

3

2

=2，
∴-（

1

2x

+

3x

2

）＜-2，即a≥-2．
∴q：a≥-2．
若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，
则p与q一真一假，
若p真q假时，则a∈∅，
若p假q真时，

a≥-2 a≤2

，解得a∈[-2，2]
综上所述，a∈[-2，2]．

点评：本题考查复合命题与简单命题真假之间的关系，先将命题p，q进行等价转化是解决本题的关键．