Question

已知A、B、C三点的坐标分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），其中

π

2

＜α＜

3π

2

．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求sinα-cosα．

Answer 1

分析：（1）根据向量模的公式，将|

AC

|=|

BC

|表示为关于α的方程，化简整理得tanα=1，再结合α∈（

π

2

，

3π

2

）可得角α的值；
（2）根据向量数量积的坐标公式，代入

AC

•

BC

=-1，化简得sinα+cosα=

2

3

，平方整理得2sinαcosα=-

5

9

＜0，从而得出α为钝角，最后根据同角三角函数的平方关系，算出sinα-cosα=

14

3

．

解答：解：（1）

AC

=(cosα-3，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-3)．…（1分）
∴|

AC

|=

(cosα-3)2+sin2α

=

10-6cosα

|

BD

|=

cos2α+(sinα-3)2

=

10-6sinα

由|

AC

|=|

BC

|，得sinα=cosα⇒tanα=1，…（3分）
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，∴α=

5π

4

  …（4分）
（2）由

AC

•

BC

=-1，得 cosα（cosα-3）+sinα（sinα-3）=-1，
化简，得sinα+cosα=

2

3

＞0，
两边平方得，（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

4

9

．
∴2sinαcosα=-

5

9

…（6分）
∵

π

2

＜α＜

3π

2

，∴sinα＞0且cosα＜0
∴sinα-cosα=

(sinα-cosα)2

=

1-2sinαcosα

=

1+ 5 9

=

14

3

（舍负） …（8分）

点评：本题给出向量的坐标，在模相等的情况下求角α的值．着重考查了平面向量的坐标运算、向量的数量积和三角函数恒等变形等知识，属于基础题．