题目内容

已知A,B,C三点的坐标分别是A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈(
π
2
2
)
,若
AC
BC
=-1
,则
1+tanα
2sin2α+sin2α
的值为(  )
A、-
5
9
B、-
9
5
C、2
D、3
分析:先由A、B、C三点的坐标,求出
AC
BC
的坐标,再根据
AC
BC
=-1
,列出一个关于α的方程,可将问题转化为简单的三角函数化简求值问题.
解答:解:由
AC
=(cosα-3,sinα)
BC
=(cosα,sinα-3)

AC
BC
=(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1

sinα+cosα=
2
3

2sinαcosα=-
5
9

1+tanα
2sin2α+sin2α
=
1+
sinα
cosα
2sin2α+2sinαcosα
=
1
2sinαcosα
=-
9
5

故选B
点评:解决此题的关键是:熟练掌握向量数量积公式以及三角函数的变换方法.已知某三角函数值、求其它三角函数的值.一般先化简,再求值.化简三角函数的基本方法:统一角、统一名通过观察“角”“名”“次幂”,找出突破口,利用切化弦、降幂、逆用公式等手段将其化简.
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