题目内容
已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（1+
）2•an．（1）求证数列{
}是等比数列，并求其通项公式；（2）设b
，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设Cn=
，求证：
．
【答案】分析：（1）利用an+1=2（1+
）2•an，可得
=2•
，从而可得{
}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可并求其通项公式；
（2）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．
解答：（1）解：∵an+1=2（1+
）2•an，
∴
=2•
∵a1=2，∴{
}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴
∴an=n2•2n；
（2）解：
=n•2n
∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn=
=
＞0，
设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=
＜
=
-
＜
＜
=
综上：c1+c2+c3+…+cn＜
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．
）2•an，可得=2•，从而可得{}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可并求其通项公式；（2）利用错位相减法，可求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）利用放缩法，结合等比数列的求和公式，即可证得结论．
解答：（1）解：∵an+1=2（1+
）2•an，∴
=2•∵a1=2，∴{
}是以2为首项，2为公比的等比数列∴
∴an=n2•2n；
（2）解：
=n•2n∴Sn=1•21+2•22+…+n•2n
∴2Sn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得-Sn=2n+1-2-n•2n+1
∴Sn=2+（n-1）•2n+1；
（3）证明：cn=
=＞0，设Tn=c1+c2+c3+…+cn，则T1＜T2＜T3＜T4，
当n≥4时，Tn=
＜=-＜＜=综上：c1+c2+c3+…+cn＜
点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，属于中档题．
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